苏厨 第144节
“这就得出符合题目条件的最小公共数——二十三。”
“当然这是傻解，此题其实还有另有一种解法，有个歌诀说明：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七字团圆月正半，除百零五便得知。”
“第一句，三人同行七十稀，意思是说把该数除以三，所得余数用七十相乘。”
“第二句，五树梅花廿一枝，是把该数除以五，所得余数用二十一乘。”
“第三句，七子团圆月正半，是把该数除以七，所得余数用十五乘。”
“第四句，除百零五便得知，则把上述三积加起来减去一百零五的倍数，所得差即所求之数。”
“如果用土地庙的算式列式的话……”
说完从书包里翻出本子和铅笔，刷刷刷写了一个算式：“喏，就是这样了。”
那师爷将本子取过，见上边写着：2x70+3x21+2x15=233，233-105x2=23。
师爷居然能看懂这个神奇的算式，拱手小心问道：“敢问公子，七十，二十一，十五，这几个数何来？为何分以二，三，二乘之？之后因何要减去一百零五？”
苏油笑道：“七十除以三余一，可被五，七整除；所以七十的两倍，能够除以三余二，也被五，七整除，就满足了第一个余数条件，而不用考虑后两个余数；
“同理，二十一除以五余一，同时可被三，七整除；所以二十一的三倍能够除以五余三，同时还能也被三，七整除；这就满足了第二个余数条件，而不用考虑第一，第三个余数；”
“十五除以七余一，同时可被三，五整除，因而十五的两倍，能除以七余二，同时可被三，五整除；这就满足了第三个余数条件，而无需考虑第一，第二个余数条件。”
“前三句诗分别说明这种情况，再将它们加到一起，这就既满足了该题前面整除部分，又满足了后面三个余数条件部分。”
师爷恍然大悟：“妙极！这思路绝了！”
苏油笑道：“该数已经是答案了，但不是最小答案，因而还要减去三个数的公倍数，也就是一百零五或者它的倍数，减到不可再减，才是最小答案，这就是最后一句诗的意思。”
师爷兴奋得手舞足蹈：“这才是至理！这才是至理！以前的拼凑之法只能解得一题，如果数字过大，那就得耗时费力。今得此法，所遇类题皆可解之！妙极！简直是奇思妙想！”
说完又眼巴巴地看着苏油：“公子，刚刚你说这题是一类……你肯定还知晓好多此类题对不对？”
苏油说道：“可见先生也是好学之人，我就给你写几道吧。”
说完在本子上刷刷刷写了几道。
今有物未知数，五五数之余二，七七数之余二，九九数之余四，问物几何？
韩信点兵，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人，问兵几何？
今有物未知数，三三数之余二，四四数之余一，问十二数之余几？
师爷的心算能力相当厉害，抓起苏油的铅笔一边看题一边列式，唰唰就将前两道题解了出来，开心得大呼小叫。
等到一看第三道，又傻眼了：“呃，公子，这第三题，和前边的各题不一样啊……”
苏油结过笔来，轻笑道：“其实还是一类，只是有了些许的小变化，这叫拓展题型——来我解给你看啊……喏，明白了？其实还是不离其宗，知道了解法，这种题是难不住人的。”
那师爷连连作揖：“多谢公子，多谢公子，实乃神算！”
苏油笑道：“我大宋善于数学之人，那是车载斗量，我不算什么的。只不过数学这东西难于传播，因而你不知晓罢了，其实对于有数学基础的人来说，这就是一层窗户纸，一点就透。”
那师爷满脸讨好之色：“公子此言过于谦虚了，这可是朝廷明算科的考题，而且大宋考生，多有以文字功夫应试的，靠的就是死记硬背记答案过关。”
“老夫倒是听说过我大宋有一等聪明之士，能以一法解一类，那都是天才，不料今日当面得见，真让人喜出望外。”
张方平手扶额头，哭笑不得地对苏洵说道：“都不知道这到底是谁在考谁……”
师爷扭头笑道：“小公子哪里还需考较，当我师父都当得，我那题简直就是贻笑大方……”
张方平调笑道：“休得长他人志气灭自己威风！去把另一道题拿来。”
师爷“啊”了一声：“哪道？”
张方平挤了挤眼：“那道石料估算的。”
师爷说道：“明公，那是……”
张方平一瞪眼：“快去！”
师爷忙不迭地应下，没一会抱了一卷图纸进来：“这个，请小公子一观。”
苏油将图纸打开，上面是一座拱桥。
师爷说道：“公子你看，这是一座拱桥，跨河面九丈，桥最高处离水面两丈，桥阔一丈五，需要算出铺设桥面，需用多少石料。”
苏油说道：“这个比刚才那个可简单多了。”
苏洵听得脑袋发涨，感觉不亲自去桥面丈量，这是不可能的事情：“明润！休得胡言乱语！”
苏油从书包里取出圆规和直尺，在本子上画了个图：“先不看桥的宽度，是不是可以将这道题简化成这样？知道圆弧的弦长，知道拱高，求圆弧的弧长？”
这图简单明了，围过来的众人都点头。
苏油笑道：“这需要知道几个定理，首先是圆上任意一点，与直径两端连线，其夹角是直角，我们可以证明如下。”
说完给众人讲解证法。
张方平还有些怀疑，拿圆规另画了几个圆，然后用铅笔和直尺连了一下：“果真如此。”
苏油笑道：“明公，这门学问叫几何，使用的语言叫逻辑，类似坚白之论。”
“对于平面几何来说，只有少数几个基本真命题，我们土地庙称之为公理。”
说完在纸上书写起来：“比如：任意一点到另外任意一点可以画一条直线。是吧？”
众人点头。
“又比如，一条有限线段可以继续延长，是吧？”
众人再次点头。
“另外还有三条。”
“以任意点为心及任意的距离可以画圆；”
“凡直角都彼此相等；”
“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。”
众人都觉得这些东西再简单不过，不知道这娃为啥要提这些。
苏油说道：“有了这五条公理，我们可以推导出无数的定理。定理是可以通过公理逻辑限制，经过演绎和推导，证明其为正确的命题或者公式。”
“比如刚刚我们证明了圆上直角，那它就成为了一条定理，定理也是真命题，因此无论张公如何画，在我给出的条件下，都只能画出直角来。”
张方平也是聪明绝顶之人：“难怪古今无数人痴迷于数学。这是求究万世不移之理！”
苏油拱手道：“张公明见，要移它，只有一种可能。”
说完一指纸上写下的五条公理：“除非它们是错误的！”
第二百一十八章 张天选
张方平生平第一次觉得自己脑子有点缺氧：“这是大道啊！大道至简，还可以从此处解释！研究术数的人这么多，怎么从来没有人提及这处关窍？”
苏油笑道：“明公，这些以后再琢磨，我们先解决这道题，此处还要用到几个定理。”
“首先，我们还要证明垂径定理和勾股定理……”
“接下来，我们还要证明相似三角形定理……”
“好了，我们连接弧的最高点和弧的起点，现在我们就得到了两个相似三角形，这个，还有这个，对不对？接下来我们设顶到水面高度为拱，大圆直径为径，河面宽度为弦。”
“现在我们的条件就多了很多，可以通过这些定理，列出这么一个关系算式……”
“这个算式可以变化成这样……再这样……好了，师爷你会开方术不？会？那你来计算。”
师爷说道：“等我去取算筹！”
一阵摆布之后，师爷哈哈大笑：“算出来了！明公，现在我们算得了大圆的直径！”
张方平大喜：“厉害！”
想想又没对：“等下，差点被带歪了，知道这个有什么用？我们不是要算那啥……弧长吗？”
师爷这才回过神来：“对哦……”
苏油笑道：“知道了直径，可以通过周率得到周长。”
师爷连连点头：“对对对！”
苏油又摸出一本册子：“这个是三角函数表，里边有不同长度直角边和相应角度的换算关系。通过它，我们可以得到弧的夹角。”
“圆周三百六十度，可以通过弧的夹角度数除以三百六十，再乘以圆周长度，就得到弧长了。”
师爷笔下不停：“弧长再乘以桥宽，就得到桥面的面积！再除以单块石料的面积，就能得到石料的块数！”
算完将笔一丢，长揖一礼：“公子实乃算学天才！仓舒不过也！”
苏油对张方平拱手道：“明公，在命题逻辑中，未经证明的叙述都称为猜想，用推理的方法判断为真的猜想，方可叫做定理。无数的定理构架成的体系，便是数学体系。几何，乃数学之一分支，所有内容，归根结底，都从这几条简单公理中所证而来。这，才是数学的本质。”
张方平手拈胡须：“妙哉此论！明润，你现在证出多少定理来了？”
苏油从书包里取出一本书：“这是给薇儿带来的新教材，孩子们力弱，要自食其力，须得机械辅助，而机械的基础，就是数学。土地庙小学从实用出发，证得了一些，前后有两本，每本三册，叫《算术初步》和《几何初步》。”
张方平打开来，里边都是些图形和符号：“薇儿，你也能看懂？”
石薇就开始告状：“我不如小油哥哥聪明，这书看起来倒是不难，但是题册就稀奇古怪了。”
“小油哥哥的好多题，要用很巧妙的方法才能解出来，我想不出来的就寄回给他，小油哥哥会用红笔给我批改了，然后罚我做五遍！”
张方平问道：“比如呢？”
石薇说道：“比如加减乘除我都会，但是小油哥哥说用三个五一个一，加减乘除，每个数字只能用一次，最后要得到二十四这个结果，就很难了。”
师爷顿时恍然大悟：“这就是拓展题，好比刚刚剩余理论最后一题……”
张方平对苏油笑道：“我是计司出来的，如今还领着户部侍郎，自然知道数学的重要，你所创的梵数，横式，包括会计账簿，的确简便。今日试尔一试，看来果真是从简到繁，自行颖悟出来的。”
“老夫当年也是无人传授，借书通读而明事理。难得，明润你很有老夫幼时的风范！”
苏油都吓坏了：“岂敢，苏油愚钝，明公则过目不忘，这是没法比的……”
张方平转身对苏洵道：“子瞻子由，笔力雄奇，学问扎实，无需我多说什么了，你们父子三人，便好好准备明年的解试吧。”
苏洵躬身道：“明年春日，我们定当早来成都，准备运司贡试。”
张方平摆手：“不，以你们的才华，必须去京华考解！”
“当然这是傻解，此题其实还有另有一种解法，有个歌诀说明：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七字团圆月正半，除百零五便得知。”
“第一句，三人同行七十稀，意思是说把该数除以三，所得余数用七十相乘。”
“第二句，五树梅花廿一枝，是把该数除以五，所得余数用二十一乘。”
“第三句，七子团圆月正半，是把该数除以七，所得余数用十五乘。”
“第四句，除百零五便得知，则把上述三积加起来减去一百零五的倍数，所得差即所求之数。”
“如果用土地庙的算式列式的话……”
说完从书包里翻出本子和铅笔，刷刷刷写了一个算式：“喏，就是这样了。”
那师爷将本子取过，见上边写着：2x70+3x21+2x15=233，233-105x2=23。
师爷居然能看懂这个神奇的算式，拱手小心问道：“敢问公子，七十，二十一，十五，这几个数何来？为何分以二，三，二乘之？之后因何要减去一百零五？”
苏油笑道：“七十除以三余一，可被五，七整除；所以七十的两倍，能够除以三余二，也被五，七整除，就满足了第一个余数条件，而不用考虑后两个余数；
“同理，二十一除以五余一，同时可被三，七整除；所以二十一的三倍能够除以五余三，同时还能也被三，七整除；这就满足了第二个余数条件，而不用考虑第一，第三个余数；”
“十五除以七余一，同时可被三，五整除，因而十五的两倍，能除以七余二，同时可被三，五整除；这就满足了第三个余数条件，而无需考虑第一，第二个余数条件。”
“前三句诗分别说明这种情况，再将它们加到一起，这就既满足了该题前面整除部分，又满足了后面三个余数条件部分。”
师爷恍然大悟：“妙极！这思路绝了！”
苏油笑道：“该数已经是答案了，但不是最小答案，因而还要减去三个数的公倍数，也就是一百零五或者它的倍数，减到不可再减，才是最小答案，这就是最后一句诗的意思。”
师爷兴奋得手舞足蹈：“这才是至理！这才是至理！以前的拼凑之法只能解得一题，如果数字过大，那就得耗时费力。今得此法，所遇类题皆可解之！妙极！简直是奇思妙想！”
说完又眼巴巴地看着苏油：“公子，刚刚你说这题是一类……你肯定还知晓好多此类题对不对？”
苏油说道：“可见先生也是好学之人，我就给你写几道吧。”
说完在本子上刷刷刷写了几道。
今有物未知数，五五数之余二，七七数之余二，九九数之余四，问物几何？
韩信点兵，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人，问兵几何？
今有物未知数，三三数之余二，四四数之余一，问十二数之余几？
师爷的心算能力相当厉害，抓起苏油的铅笔一边看题一边列式，唰唰就将前两道题解了出来，开心得大呼小叫。
等到一看第三道，又傻眼了：“呃，公子，这第三题，和前边的各题不一样啊……”
苏油结过笔来，轻笑道：“其实还是一类，只是有了些许的小变化，这叫拓展题型——来我解给你看啊……喏，明白了？其实还是不离其宗，知道了解法，这种题是难不住人的。”
那师爷连连作揖：“多谢公子，多谢公子，实乃神算！”
苏油笑道：“我大宋善于数学之人，那是车载斗量，我不算什么的。只不过数学这东西难于传播，因而你不知晓罢了，其实对于有数学基础的人来说，这就是一层窗户纸，一点就透。”
那师爷满脸讨好之色：“公子此言过于谦虚了，这可是朝廷明算科的考题，而且大宋考生，多有以文字功夫应试的，靠的就是死记硬背记答案过关。”
“老夫倒是听说过我大宋有一等聪明之士，能以一法解一类，那都是天才，不料今日当面得见，真让人喜出望外。”
张方平手扶额头，哭笑不得地对苏洵说道：“都不知道这到底是谁在考谁……”
师爷扭头笑道：“小公子哪里还需考较，当我师父都当得，我那题简直就是贻笑大方……”
张方平调笑道：“休得长他人志气灭自己威风！去把另一道题拿来。”
师爷“啊”了一声：“哪道？”
张方平挤了挤眼：“那道石料估算的。”
师爷说道：“明公，那是……”
张方平一瞪眼：“快去！”
师爷忙不迭地应下，没一会抱了一卷图纸进来：“这个，请小公子一观。”
苏油将图纸打开，上面是一座拱桥。
师爷说道：“公子你看，这是一座拱桥，跨河面九丈，桥最高处离水面两丈，桥阔一丈五，需要算出铺设桥面，需用多少石料。”
苏油说道：“这个比刚才那个可简单多了。”
苏洵听得脑袋发涨，感觉不亲自去桥面丈量，这是不可能的事情：“明润！休得胡言乱语！”
苏油从书包里取出圆规和直尺，在本子上画了个图：“先不看桥的宽度，是不是可以将这道题简化成这样？知道圆弧的弦长，知道拱高，求圆弧的弧长？”
这图简单明了，围过来的众人都点头。
苏油笑道：“这需要知道几个定理，首先是圆上任意一点，与直径两端连线，其夹角是直角，我们可以证明如下。”
说完给众人讲解证法。
张方平还有些怀疑，拿圆规另画了几个圆，然后用铅笔和直尺连了一下：“果真如此。”
苏油笑道：“明公，这门学问叫几何，使用的语言叫逻辑，类似坚白之论。”
“对于平面几何来说，只有少数几个基本真命题，我们土地庙称之为公理。”
说完在纸上书写起来：“比如：任意一点到另外任意一点可以画一条直线。是吧？”
众人点头。
“又比如，一条有限线段可以继续延长，是吧？”
众人再次点头。
“另外还有三条。”
“以任意点为心及任意的距离可以画圆；”
“凡直角都彼此相等；”
“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。”
众人都觉得这些东西再简单不过，不知道这娃为啥要提这些。
苏油说道：“有了这五条公理，我们可以推导出无数的定理。定理是可以通过公理逻辑限制，经过演绎和推导，证明其为正确的命题或者公式。”
“比如刚刚我们证明了圆上直角，那它就成为了一条定理，定理也是真命题，因此无论张公如何画，在我给出的条件下，都只能画出直角来。”
张方平也是聪明绝顶之人：“难怪古今无数人痴迷于数学。这是求究万世不移之理！”
苏油拱手道：“张公明见，要移它，只有一种可能。”
说完一指纸上写下的五条公理：“除非它们是错误的！”
第二百一十八章 张天选
张方平生平第一次觉得自己脑子有点缺氧：“这是大道啊！大道至简，还可以从此处解释！研究术数的人这么多，怎么从来没有人提及这处关窍？”
苏油笑道：“明公，这些以后再琢磨，我们先解决这道题，此处还要用到几个定理。”
“首先，我们还要证明垂径定理和勾股定理……”
“接下来，我们还要证明相似三角形定理……”
“好了，我们连接弧的最高点和弧的起点，现在我们就得到了两个相似三角形，这个，还有这个，对不对？接下来我们设顶到水面高度为拱，大圆直径为径，河面宽度为弦。”
“现在我们的条件就多了很多，可以通过这些定理，列出这么一个关系算式……”
“这个算式可以变化成这样……再这样……好了，师爷你会开方术不？会？那你来计算。”
师爷说道：“等我去取算筹！”
一阵摆布之后，师爷哈哈大笑：“算出来了！明公，现在我们算得了大圆的直径！”
张方平大喜：“厉害！”
想想又没对：“等下，差点被带歪了，知道这个有什么用？我们不是要算那啥……弧长吗？”
师爷这才回过神来：“对哦……”
苏油笑道：“知道了直径，可以通过周率得到周长。”
师爷连连点头：“对对对！”
苏油又摸出一本册子：“这个是三角函数表，里边有不同长度直角边和相应角度的换算关系。通过它，我们可以得到弧的夹角。”
“圆周三百六十度，可以通过弧的夹角度数除以三百六十，再乘以圆周长度，就得到弧长了。”
师爷笔下不停：“弧长再乘以桥宽，就得到桥面的面积！再除以单块石料的面积，就能得到石料的块数！”
算完将笔一丢，长揖一礼：“公子实乃算学天才！仓舒不过也！”
苏油对张方平拱手道：“明公，在命题逻辑中，未经证明的叙述都称为猜想，用推理的方法判断为真的猜想，方可叫做定理。无数的定理构架成的体系，便是数学体系。几何，乃数学之一分支，所有内容，归根结底，都从这几条简单公理中所证而来。这，才是数学的本质。”
张方平手拈胡须：“妙哉此论！明润，你现在证出多少定理来了？”
苏油从书包里取出一本书：“这是给薇儿带来的新教材，孩子们力弱，要自食其力，须得机械辅助，而机械的基础，就是数学。土地庙小学从实用出发，证得了一些，前后有两本，每本三册，叫《算术初步》和《几何初步》。”
张方平打开来，里边都是些图形和符号：“薇儿，你也能看懂？”
石薇就开始告状：“我不如小油哥哥聪明，这书看起来倒是不难，但是题册就稀奇古怪了。”
“小油哥哥的好多题，要用很巧妙的方法才能解出来，我想不出来的就寄回给他，小油哥哥会用红笔给我批改了，然后罚我做五遍！”
张方平问道：“比如呢？”
石薇说道：“比如加减乘除我都会，但是小油哥哥说用三个五一个一，加减乘除，每个数字只能用一次，最后要得到二十四这个结果，就很难了。”
师爷顿时恍然大悟：“这就是拓展题，好比刚刚剩余理论最后一题……”
张方平对苏油笑道：“我是计司出来的，如今还领着户部侍郎，自然知道数学的重要，你所创的梵数，横式，包括会计账簿，的确简便。今日试尔一试，看来果真是从简到繁，自行颖悟出来的。”
“老夫当年也是无人传授，借书通读而明事理。难得，明润你很有老夫幼时的风范！”
苏油都吓坏了：“岂敢，苏油愚钝，明公则过目不忘，这是没法比的……”
张方平转身对苏洵道：“子瞻子由，笔力雄奇，学问扎实，无需我多说什么了，你们父子三人，便好好准备明年的解试吧。”
苏洵躬身道：“明年春日，我们定当早来成都，准备运司贡试。”
张方平摆手：“不，以你们的才华，必须去京华考解！”